Εργαστήριο Συναρτήσεων

Σχεδίασε συναρτήσεις, μελέτησέ τες με παραγώγους και πίνακα μεταβολών, υπολόγισε εμβαδά χωρίων και δες τη σύνδεση με την κίνηση μέσα από τα διαγράμματα x–t, υ–t, α–t.

τρέχον σημείο τοποθετημένα σημεία καμπύλη y = f(x) ένωση σημείων

Κλικ για να κρατήσεις ένα σημείο στο διάγραμμα. Γράψε επάνω τη συνάρτηση (π.χ. x^2 ή x^3 - 2*x), τοποθέτησε σημεία και πάτησε «Σχεδίαση καμπύλης» για να εμφανιστεί η ακριβής καμπύλη της συνάρτησης. Το «Ένωση σημείων» εξακολουθεί να ενώνει τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα. Κινήσου ξανά για να εξερευνήσεις άλλα σημεία. Οι κόκκινες διακεκομμένες γραμμές είναι οι προβολές στους άξονες.

Συνάρτηση y = f(x)

y =

Μαθηματικό πληκτρολόγιο

Γράφει στο: y = f(x)

Ανάλυση

Σχεδίασε πρώτα μια καμπύλη για να ενεργοποιηθούν η παράγωγος, η εφαπτομένη και το ολοκλήρωμα.

Ρυθμίσεις

Ακέραιες συντεταγμένες Ένωση σημείων

Άξονες

xαπόέως

yαπόέως

Σημεία

Δεν υπάρχουν σημεία. Κάνε κλικ ή άγγιξε το επίπεδο για να τοποθετήσεις ένα.

Οδηγίες

Υπολογιστής: μετακίνησε το ποντίκι και κάνε κλικ για να κρατήσεις το σημείο.
Κινητό/tablet: σύρε το δάχτυλο μέχρι το σημείο που θέλεις και άφησε για να το τοποθετήσεις.
Πληκτρολόγιο: πάτησε στο επίπεδο, μετακινήσου με τα βέλη, Enter για τοποθέτηση.
Οι κόκκινες διακεκομμένες γραμμές είναι οι προβολές του σημείου στους άξονες.
Όταν υπάρχει καμπύλη, εμφανίζεται η τιμή f(x) και αν το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση.
Πράξεις: + - * / ^, παρενθέσεις, |x|, και χωρίς *: 2x, 3(x+1).
Μαθηματικό πληκτρολόγιο: γράφει στο πεδίο που άγγιξες τελευταίο (f, g, h, … ή α, β). Αν έχεις επιλέξει κείμενο, τα κουμπιά συναρτήσεων το βάζουν μέσα στην παρένθεση (π.χ. επιλογή «2x» και sin → sin(2x)).
Παράμετροι a, b, c: γράψε π.χ. a*x^2 + b*x + c· εμφανίζονται ρυθμιστικά για όσες παραμέτρους χρησιμοποιείς και όλα ενημερώνονται ζωντανά.
Περισσότερες συναρτήσεις: με το «+ Προσθήκη συνάρτησης» προσθέτεις g, h, p, … με δικό τους χρώμα· το μάτι τις κρύβει/εμφανίζει και το × τις διαγράφει. Στην «Ανάλυση» διαλέγεις για ποια συνάρτηση θέλεις παραγώγους, εφαπτομένη και ρίζες.
Εμβαδόν ανάμεσα σε καμπύλες: άνοιξε το «Ολοκλήρωμα», διάλεξε «ανάμεσα σε καμπύλες» και τσέκαρε όσες καμπύλες θέλεις (και τον άξονα x′x αν χρειάζεται). Βρίσκονται όλα τα κλειστά χωρία που σχηματίζουν (π.χ. το τρίγωνο τριών ευθειών) και το εμβαδόν του καθενός. Με ακριβώς δύο καμπύλες δίνεται επιπλέον και το ολοκλήρωμα στο [α, β]. Εμφανίζονται τα σημεία τομής, το α και το β γίνονται αυτόματα το πρώτο και το τελευταίο σημείο τομής και υπολογίζεται χωριστά το εμβαδόν κάθε χωρίου.
Πίνακας μεταβολών: ο πίνακας μονοτονίας–ακροτάτων (πρόσημο της f′, ↗ ↘, τοπικά ακρότατα) και κυρτότητας (πρόσημο της f″, ∪ κυρτή, ∩ κοίλη, σημεία καμπής) στο εύρος του x′x· το ‖ σημαίνει ότι δεν ορίζεται (ασύμπτωτη, γωνία).
Από τέμνουσα σε εφαπτομένη: στο x₀ του τρέχοντος σημείου σχεδιάζεται η τέμνουσα ΜΝ με το τρίγωνο κλίσης (h, Δy). Με το «h → 0» η τέμνουσα πλησιάζει την εφαπτομένη και ο πίνακας δείχνει πώς ο λόγος μεταβολής τείνει στο f′(x₀).
Κινηματική: η συνάρτηση θεωρείται θέση x(t). Ένα σώμα κινείται πάνω στον άξονα (με βέλη υ και α) και ταυτόχρονα προχωρούν τα διαγράμματα x–t, υ–t, α–t· στο x–t φαίνεται η εφαπτομένη (κλίση = υ), στο υ–t το εμβαδόν (= Δx). Γράφεις τον χρόνο ως t.
Ζουμ και μετακίνηση: ροδέλα του ποντικιού (με κέντρο το σημείο που δείχνεις), τσίμπημα με δύο δάχτυλα στο κινητό ή τα κουμπιά + / − πάνω στο διάγραμμα. Με το ✥ ενεργό σέρνεις το διάγραμμα αντί να βάζεις σημεία· στο κινητό μετακινείς και με δύο δάχτυλα. Το ⟲ επαναφέρει το [−10, 10]. Οι αναλύσεις ξαναγίνονται για το νέο εύρος μόλις σταματήσεις.
Άξονες: στις «Ρυθμίσεις» ορίζεις από πού έως πού φαίνεται ο x′x και ο y′y (δέχεται και π, π.χ. από −2π έως 2π). «Ίσες κλίμακες»: ίδια μονάδα μήκους στους δύο άξονες· «Αυτόματο y»: το y προσαρμόζεται στις τιμές των καμπυλών. Ρίζες, τομές, χωρία και κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούνται στο εύρος του x′x.
Ασύμπτωτες: κατακόρυφες στο εύρος του x′x και οριζόντιες/πλάγιες στο ±∞, με τα αντίστοιχα όρια. Εκτιμώνται αριθμητικά: κατακόρυφη στο x₀ όταν η |f(x)| αυξάνεται χωρίς φράγμα καθώς x → x₀· πλάγια y = λx + β όταν συγκλίνουν τα λ = lim f(x)/x και β = lim (f(x) − λx).
Ανάλυση: εμφανίζει τους τύπους f′ και f″, τις γραφικές τους παραστάσεις, την εφαπτομένη στο x του τρέχοντος σημείου, ρίζες/ακρότατα/σημεία καμπής και το ορισμένο ολοκλήρωμα με το εμβαδόν του χωρίου. Στα άκρα α, β μπορείς να γράψεις και π, π/2, e.
Συναρτήσεις: ημ/sin, συν/cos, εφ/tan, sqrt, ln, log, exp, σταθερές π, e, παράμετροι a, b, c.

Κινηματική: x–t, υ–t, α–t